Spettro (matematica)

In matematica, in particolare nell'ambito dell'analisi funzionale e della teoria spettrale, lo spettro di una trasformazione lineare tra spazi vettoriali è la generalizzazione del concetto di insieme di autovalori per le matrici.

Il concetto di spettro viene solitamente introdotto in algebra lineare nell'ambito delle trasformazioni lineari (limitate) tra spazi vettoriali di dimensione finita, e viene esteso dall'analisi funzionale al caso di operatori lineari limitati, e anche non limitati, in spazi vettoriali infinito-dimensionali. Agli operatori non limitati spesso si richiede che siano chiusi.

Se ${\displaystyle T}$ è un operatore lineare limitato definito su uno spazio di Banach ${\displaystyle \mathbb {X} }$ sul campo ${\displaystyle \mathbb {K} }$, e con ${\displaystyle I}$ si indica la funzione identità su ${\displaystyle \mathbb {X} }$, lo spettro di ${\displaystyle T}$ è l'insieme dei numeri ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} }$ tali per cui ${\displaystyle \lambda I-T}$ non possiede un inverso che è un operatore lineare limitato. Se ${\displaystyle \lambda }$ è un autovalore di ${\displaystyle T}$, allora ${\displaystyle T-\lambda I}$ non è una funzione biunivoca e dunque la sua inversa ${\displaystyle (T-\lambda I)^{-1}}$ non è definita. Tuttavia, l'operatore ${\displaystyle T-\lambda I}$ può comunque non avere un operatore inverso: perciò lo spettro di un operatore contiene tutti i suoi autovalori, ma non si limita ad essi.

Si può dimostrare che ogni operatore lineare limitato su uno spazio di Banach complesso ha uno spettro non vuoto. Inoltre, operatori su spazi infinito dimensionali possono non avere autovalori, ad esempio sullo spazio di Hilbert ℓ² l'operatore di shift unilaterale ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots )\mapsto (0,x_{1},x_{2},\dots )}$ non ha autovalori.